1. 简单的闭包
定义
紧集是拓扑空间内的一类特殊点集，它们的任何开覆盖都有有限子覆盖。在度量空间内，紧集还可以定义为满足以下任一条件的集合：
任意列有收敛子列且该子列的极限点属于该集合（自列紧集）
具备Bolzano-Weierstrass性质
完备且完全有界
性质
紧集具有以下性质：
紧集必然是有界的闭集，但反之不一定成立。
紧集在连续函数下的像仍是紧集。
豪斯多夫空间的紧子集是闭集。
实数空间的非空紧子集有最大元素和最小元素。
Heine-Borel定理:在Rn内，一个集合是紧集当且仅当它是闭集并且有界。
定义在紧集上的连续实值函数有界且有最大值和最小值。
定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
直观理解
从某种意义上，紧集类似于有限集。举最简单的例子而言，在度量空间中，所有的有限集都有最大与最小元素。一般而言，无限集可能不存在最大或最小元素（比如R中的(0, 1)）,但R中的非空紧子集都有最大和最小元素。在很多情况下，对有限集成立的证明可以扩展到紧集。一个简单的例子是对以下性质的证明：定义在紧集上的连续实值函数一致连续。
类似概念
自列紧集：每个有界序列都有收敛的子序列。
可数紧集：每个可数的开覆盖都有一个有限的子覆盖。
伪紧：所有的实值连续函数都是有界的。
弱可数紧致：每个无穷子集都有极限点。
在度量空间中，以上概念均等价于紧集。
以下概念通常弱于紧集：
相对紧致：如果一个子空间Y在母空间X中的闭包是紧致的，则称Y是相对紧致于X。
准紧集：若空间X的子空间Y中的所有序列都有一个收敛的子序列，则称Y是X中的准紧集。
局部紧致空间：如果空间中的每个点都有个由紧致邻域组成的局部基，则称这个空间是局部紧致空间。
2. 简单的闭包代码
通俗的说，闭包就是函数嵌套函数，并且函数被作为函数的返回值。闭包是指可以包含自由（未绑定到特定对象）变量的代码块；这些变量不是在这个代码块内或者任何全局上下文中定义的，而是在定义代码块的环境中定义（局部变量）。“闭包” 一词来源于以下两者的结合：要执行的代码块（由于自由变量被包含在代码块中，这些自由变量以及它们引用的对象没有被释放）和为自由变量提供绑定的计算环境（作用域）。
在PHP、Scala、Scheme、Common Lisp、Smalltalk、Groovy、JavaScript、Ruby、 Python、Go、Lua、objective c、swift 以及Java（Java8及以上）等语言中都能找到对闭包不同程度的支持。
3. 如何使用闭包
闭包用use传参数
function test($b){
$c=$b;
return function($b) use($c){
return $c+$b;
}
}
echo test(1);//输出2
4. 简单闭包例子
所谓的外层函数的定义如下
1. 嵌套函数，是指在另一个函数里面定义的一个函数。外层的函数，这里简称为外层函数。
2. 函数的嵌套可以是多层嵌套。嵌套函数可以看到其全部的外层函数的非局部变量。在实际程序中，嵌套的层数一般很少。下面是一个三层嵌套的例子， innerOfInner 也可以访问在 outer 函数体重定义的变量 x 。
3. 嵌套函数对非局部变量拥有读和写的权限。
4. 如果一个嵌套函数可以逃离外层函数，例如函数是第一公民，并且内嵌的函数被传到另外一个函数作为参数或者被当做返回值，那么，就会产生一个闭包 ( closure )，通过调用逃离的函数，可以访问函数的原本的环境变量。此时，外层函数的框架 ( frame )会继续存在，直到所有指向此框架的闭包消失。闭包所指向的非局部变量会从栈内存被移到堆内存。
5. Javascript 支持嵌套函数。Java 通过 Lambda 表达式，内部类，匿名类来间接支持内置函数。
例子，add 是外层函数，plus 是嵌套函数。counter 对于 add 来说是局部变量，对于 plus 来说则是非局部变量 ( non-local variable )。在一个外层函数 add 的函数体里面，定义了一个嵌套函数 plus ，然后调用嵌套函数，并返回结果。
5. 求闭包的方法
(1)先求出R的集合表达式R={<2,5>,<3,1>,<4,5>,<5,1>}R²={<2,1>,<4,1>}R³={}(2)自反闭包r(R)={<2,5>,<3,1>,<4,5>,<5,1>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>}对称闭包s(R)={<2,5>,<3,1>,<4,5>,<5,1>,<5,2>,<1,3>,<5,4>,<1,5>}传递闭包t(R)={<2,5>,<3,1>,<4,5>,<5,1>,<2,1>,<4,1>}
6. 最简单的闭包例子
（这是关于《范畴论》一系列回答的第十篇，紧接在问题：”极限的含义？“ 之后，小石头将在本篇中与大家一起讨论单子。）
单子（monad）的哲学解释大家可以参考莱布尼兹的《单子论》，这里仅仅讨论数学中的单子。
在引入单子概念之前，我们先做一些准备。
首先，让我们复习一下以前介绍过的各种复合操作：
态射 f: A → B, g: B → C 的复合还是态射：
gf: A → C
具体定义由各个范畴结合态射的定义给出；
函子 F: A → B, G: B → C 的复合还是函子：
GF: A → C
定义为：
GF(f) = G(F(f)), GF(A) = G(F(A))
自然变换 α: F → G, β: G → U （F, G, U: A → B, α, β: ObA → MorB） 的复合还是自然变换：
β∘α: F → U（β∘α: ObA → MorB）
定义为：
β∘α(A) = β(A)α(A)
考虑到，自然变换复合定义的特殊性，尤其是与其他复合联用时，我们一般不省略 自然变换 之间的 复合 符号。
自然变换 α: F → G（F, G: A → B，α: ObA → MorB）与 函子 U: B → C 的复合是自然变换：
Uα: UF → UG（Uα: ObA → MorC）
定义为：
Uα(A) = U(α(A))
函子 F: A → B 与 自然自然变换 α: G → U（G, U: B → C，α: ObB → MorC） 的复合是自然变换：
αF: GF → UF（αF: ObA → MorC）
定义为：
αF(A) = α(F(A))
自然变换 α: F → G, β: U → V （F, G: A → B, α: ObA → MorB, U, V: B → C, β: ObA → MorB） 的星乘还是自然变换：
β∗α: UF → VG（β∗α: ObA → MorC）
定义为：
β∗α = βG∘Uα = Vα∘βF
Uα: UF → UG, βG: UG → VG, βG∘Uα: UF → VG; βF: UF → VF, Vα: VF → VG, Vα∘βF: UF → VG.
然后，对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，回忆，伴随 F ⊣ B 的前3种定义：
自然变换 η: 1ᴀ → UF（称为 单位），对于每个 A ∈ObA， η(A) 都是 A 到 U 的 泛映射；
如果 对于任意 A ∈ObA, B ∈ObB，都存在 自然双射 φ: Hom(F(A), B) ≅ Hom(A, U(B)) :ψ (称为 附属形式)；
自然变换 ε: FU → 1ʙ （称为 余单位），对于每个 B ∈ObB， ε(B) 都是 B 到 F 的 余泛映射；
以及， 第 1，3 种定义 分别 和 第2种定义 之间的关系：
η(A) = φ(1ғ₍ᴀ₎) ，f = φ(g) = U(g)η(A)；
ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)，g = ψ(f) = ε(B)F(f)；
接下来，我们研究 第 1，3 种定义 之间的关系。
根据 A 的任意性，可令，
A = U(B)
则，F(A) = FU(B)。又，令，
f = 1ᴜ₍ʙ₎
则，
g = ψ(f) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎)
再根据前面的关系：ε(B) = ψ(1ᴜ₍ʙ₎) 有，
g = ε(B)
将以上结果，带入前面的关系：f = φ(g) = U(g)η(A) 得到 ①：
1ᴜ₍ʙ₎ = f = φ(g) = U(ε(B))η(U(B))
即，
1ᴜ = Uε∘ηU
同理，令 B = F(A)，g = 1ғ₍ᴀ₎，根据前面的关系，最终，可得到 ②：
1ғ = εF∘Fη
结果 ① 和 ② 就是 第 1，3 种定义 之间的关系，绘制成交换图如下：
我们，称 ① 和 ② 为三角恒等式。
三角恒等式 可以作为，伴随的第 4 种定义的条件，即，
对于平行反向函子 F: A ⇄ B: U，如果，存在自然变换 η: 1ᴀ → UF 和 ε: FU → 1B 并且满足 三角恒等式，则 F 和 U 伴随。
上面已经从 前 3 种定义 推出了 定义4，现在只要从 定义4 推导出 定义2，就可以 证明 这些定义的 等价性了。我们，令：
φ(g: F(A)→B ) = U(g)η(A)；
ψ(f: A → U(B) ) = ε(B)F(f)；
则有，
φ(ψ(f)) = φ(ε(B)F(f)) = U(ε(B)F(f))η(A) = U(ε(B)) U(F(f))η(A) ∵ η 的自然性
∴ = U(ε(B)) η(U(B)) f ∵ 三角恒等式 ①
∴ = 1ᴜ₍ʙ₎ f = f
ψ(φ(g)) = ψ(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)η(A)) = ε(B)F(U(g)) F(η(A)) ∵ ε 的自然性
∴ = gε(F(A)) F(η(A)) ∵ 三角恒等式 ②
∴ = g 1ғ₍ᴀ₎ = g
于是，就是证明了 φ 和 ψ 是互逆的双射。关于φ 和 ψ 的自然性 也很容易验证（留给大家思考），这样以来我们就推出了定义2。
有了以上准备，接下来我们开始引入单子的概念。
单子
在上面的伴随中，我们以 范畴 A 为焦点， 如果，令 T = UF：A → A，1 = 1ᴀ ，则 伴随的单位，可记为：
η: 1 → T
再考虑 余单位 ε: FU → 1ʙ，我们分别在ε左右复合U和F，可得到：
UεF: UFUF → U1ʙF
而，
UFUF = TT = T² , U1ʙF = UF，
于是，令 μ = UεF，则有 自然变换：
μ: T² → T
令 B = F(A) 为参数，带入 三角恒等 1ᴜ₍ʙ₎ = Uε(B)∘ηU(B) 得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘ηUF(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘ηT(A)
即，
1 = μ∘ηT
对 三角很等式 1ғ₍ᴀ₎ = εF(A)∘Fη(A) 两边应用 函子 U，有：
U(1ғ₍ᴀ₎) = U(εF(A)∘Fη(A))
由于，函子将幺态射映射到幺态射，所以，
等式左边 = 1ᴜғ₍ᴀ₎
根据，函子的保持复合性，知 ，
等式右边 = UεF(A)∘UFη(A)
等式两边关联的就得到：
1ᴜғ₍ᴀ₎ = UεF(A)∘UFη(A)
1ᴛ₍ᴀ₎ = μ(A)∘Tη(A)
即，
1 = μ∘Tη
将上面的得到的结果绘制成交换图Ⅰ，如下 ：
另一方面，考虑 B 中的 任意 态射 f: X → Y, 根据 自然变换 ε: FU → 1ʙ 的自然性，有如下交换图：
令，X = FU(Y)，则有：
这时我们发现 f, ε(Y) 同时属于 Hom(FU(Y), Y)，于是 可以令 f = ε(Y)，则有：
又令，Y = F(A)，则有：
再对上图应用 函子 U ，将其从范畴 B 映射 到 范畴 A，有：
将 图中 表达式 改写成 T 和 μ 和形式， 最后 得到 如下交换图Ⅱ：
对应关系式为：
μ∘μT = μ∘Tμ
综上，我们就从 伴随函子 F: A ⇄ B: U 得到了：
定义在 范畴 A 上的 函子 T: A → A ，以及两个 使得 图 Ⅰ 和 Ⅱ 可交换 的 自然变换 η: 1 → T 和 μ: T² → T ，我们 称 T（以及 η 和 μ） 为 单子。
Eilenberg-Moore 范畴
以上，是从 伴随 F: A ⇄ B: U 得到了 A 上的 单子 T，反过来 从 单子 T: A → A 也可以 构造 伴随 F: A ⇄ B: U，这件事 最早 是 由 Eilenberg 和 Moore 通过构造 Eilenberg-Moore 范畴，来实现的。
关于 范畴 A 的 Eilenberg-Moore 范畴，记为： Aᵀ。
Aᵀ 对象 是 由 A 中任意对象 A 和 映射 h: T(A) → A 组成的 序对 (A, h)，并且要求满足条件：
1ᴀ = h∘η(A)
h∘μ(A) = h∘T(h)
即，使得下二图可交换：
我们称 (A, h) 为 T-代数，A 称为 代数的 底对象，h 称为 代数的 构造映射，条件1（上面左图）称为 代数的 单位律，条件2（上面右图）称为 代数的 结合律。
Aᵀ 中的态射 与 A 保持一致，即 ㈠，
f: (A, h) → (A', h') 当且仅当 f: A → A'
进而 A 中的 态射的 复合 也就 无缝迁移到了 Aᵀ。
由 T-代数 组成 的 范畴 Aᵀ ，就是 我们要构造 的 伴随 F: A ⇄ B: U 中的 B。
函子 U: Aᵀ → A 很自然的可以定义为：
U(A, h) = A, U(f) = f
接着，观察 单子 的 换图 Ⅰ和 Ⅱ 中的关系式：
1(A) = μ(A)∘ηT(A)
μ(A)∘μT(A) = μ(A)∘Tμ(A)
如果 令, h = μ(A)，Ã = T(A)，则改写为：
1ᴀ = h∘η(Ã)
h∘μ(Ã) = h∘T(h)
刚好满足 T-代数 的 单位律 和 结合律，于是 (Ã, h) 是 Aᵀ 的对象，所以 我们可以定义 函子 F: A → Aᵀ 为：
F(A) = (T(A), μ(A)), F(f) = T(f)
显然，有：
UF(A) = U(T(A), μ(A)) = T(A)
即，
UF = T
于是，η 可记为：
η: 1ᴀ → UF
再考虑，自然变换 ε: FU → 1ᴀᵀ，有：
ε(A, h): FU(A, h) → (A, h)
因为 FU(A, h) = F(A) = (T(A), μ(A)) ，所以：
ε(A, h): (T(A), μ(A)) → (A, h)
又根据 上面 ㈠ 处 Aᵀ 的规定，有：
ε(A, h): T(A) → A
而，恰恰有：
h: T(A) → A
所以，我们可以定义 ε 如下：
ε(A, h) = h
到此为止我们就定义出来了 函子 F :A ⇄ Aᵀ : U 和 自然变换 η: 1ᴀ → UF 与 ε: FU → 1ᴀᵀ，根据这些定义，对于 任意 A ∈ ObA， 结合 单子的图Ⅰ交互性， 有：
εF(A)∘Fη(A) = ε(T(A), μ(A))∘F(η(A)) = μ(A)∘Tη(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎ = 1ᴜ₍ғ₍ᴀ₎₎ = U(1ғ₍ᴀ₎) = 1ғ₍ᴀ₎
对于 任意 (A, h) ∈ ObAᵀ ，应用 T-代数 的 单位律，有：
Uε(A, h)∘ηU(A, h) = U(h)∘η(A) = h∘η(A) = 1ᴀ = U(1ᴀ) = 1ᴜ₍ᴀ₎
这样就验证了 “三角恒等式” 成立 ，故，F 和 U 就是 我们要构造的 伴随。
闭包
最后，我们举一个单子的实际例子，以加深对其的理解。
回忆前面的 偏序范畴 Poset，其态射 就是 偏序关系：
A → B iff A ≤ B
态射的复合，就是 偏序的传递性：
A ≤ B ∘ B ≤ C = A ≤ C
设，T: Poset → Poset 是 Poset 上的 单子 ，则，首先 T 是函子，于是有：
T(A ≤ B) = T(A) ≤ T(B)
故，T 是单调递增的。
要使得 η: 1 → T 存在，则，
η(A): A ≤ T(A)
就必须存在，故，显然 T 是 上升的。
要使得 μ: T² → T，存在，则，
μ(A): T²(A) ≤ T(A)
就必须存在，而，又有：
T(A ≤ T(A)) = T(A) ≤ T²(A)
故，只能是：
T²(A) = T(A)
当然，也是，
T(A) = T²(A) = T³(A) = ...
我们，称 这样的 T 为 闭包，一般记为 Ā = T(A)。
可以验证，闭包 满足 单子的要求：
μ(A)∘ηT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
μ(A)∘Tη(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A ≤ T(A)) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T(A) ≤ T²(A) =
T²(A) ≤ T²(A) = T(A) ≤ T(A) = 1ᴛ₍ᴀ₎
μ(A)∘μT(A) = T²(A) ≤ T(A) ∘ T³(A) ≤ T²(A) = μ(A)∘Tμ(A)
故，闭包的确是单子。
闭包和单子是函数式编程中很重要的两个概念，由于本系列回答限制于数学的角度，因此不会涉及计算机语言的内容，以后有机会再和大家一起讨论《范畴论》在计算机语言中的应用。
好了，这篇回答就先到这里，关于单子还有许多内容，我们下一篇回答再继续讨论！
（最后，由于小石头数学水平有限，出错在所难免，欢迎批评指正，同时感谢大家阅读！）
7. 简单的闭包函数
AB->C 推出AB闭包是{ABC} C->A 结合上一步{ABC} BC->D 结合上一步{ABCD} ACD->B 结合上一步{ABCD} D->EG 结合上一步{ABCDEG} BE-C 结合上一步{ABCDEG} CG->BD 结合上一步{ABCDEG} CE->AG 结合上一步{ABCDEG} 所以R的候选码是AB
8. 如何实现闭包
Lua是怎样的编程语言
Lua 是一种轻量小巧的脚本语言，用标准C语言编写并以源代码形式开放， 其设计目的是为了嵌入应用程序中，从而为应用程序提供灵活的扩展和定制功能。
Lua 是巴西里约热内卢天主教大学（Pontifical Catholic University of Rio de Janeiro）里的一个研究小组于 1993 年开发的，该小组成员有：Roberto Ierusalimschy、Waldemar Celes 和 Luiz Henrique de Figueiredo。
Lua 特性
轻量级: 它用标准C语言编写并以源代码形式开放，编译后仅仅一百余K，可以很方便的嵌入别的程序里。
可扩展: Lua提供了非常易于使用的扩展接口和机制：由宿主语言(通常是C或C++)提供这些功能，Lua可以使用它们，就像是本来就内置的功能一样。
其它特性:支持面向过程(procedure-oriented)编程和函数式编程(functional programming)；
自动内存管理；只提供了一种通用类型的表（table），用它可以实现数组，哈希表，集合，对象；
语言内置模式匹配；闭包(closure)；函数也可以看做一个值；提供多线程（协同进程，并非操作系统所支持的线程）支持；
通过闭包和table可以很方便地支持面向对象编程所需要的一些关键机制，比如数据抽象，虚函数，继承和重载等。
Lua 应用场景
游戏开发
独立应用脚本
Web 应用脚本
扩展和数据库插件如：MySQL Proxy 和 MySQL WorkBench
安全系统，如入侵检测系统